Question

1．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|-|x-2|的最小值为a．
（1）求a的值；
（2）若实数p，q，r满足p-2q+3r=a，求p²+q²+r²的最小值及取得最小值时对应的p，q，r的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值三角不等式，求得数f（x）=|x+1|-|x-2|的最小值，即可求得a的值．
（2）由条件利用柯西不等式，求得p²+q²+r²的最小值及取得最小值时对应的p，q，r的值．

解答 解：（1）∵||x+1|-|x-2||≤|（x+1）-（x-2）|=3，∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3，
从而可得数f（x）=|x+1|-|x-2|的最小值为a=-3．
（2）由（1）知：p-2q+3r=-3，又（p²+q²+r²）•[1²+（-2）²+3²]≥（p-2q+3r）² =9，
∴$p{\;}^2+q{\;}^2+r{\;}^2≥\frac{9}{14}$，当且仅当$\frac{p}{1}=\frac{q}{-2}=\frac{r}{3}即p=-\frac{3}{14}，q=\frac{3}{7}，r=-\frac{9}{14}时取等$，
故p²+q²+r²的最小值为$\frac{9}{14}$，此时$p=-\frac{3}{14}，q=\frac{3}{7}，r=-\frac{9}{14}$．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，柯西不等式的应用，属于基础题．