Question

16．某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距5（3+$\sqrt{3}$）海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45°，B点北偏西60°，这时，位于B点南偏西60°且与B点相距20$\sqrt{3}$海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时．
（Ⅰ）求B点到D点的距离BD；
（Ⅱ）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理，求出BD，
（Ⅱ）在△DCB中，利用余弦定理求出CD，根据速度求出时间．

解答 解：（Ⅰ）由题意知AB=5（3+$\sqrt{3}$）海里，
∠DBA=90°-60°=30°，∠DAB=90°-45°=45°，
∴∠ADB=180°-（45°+30）°=105°，…（2分）
在△DAB中，由正弦定理得$\frac{DB}{sin∠DAB}$=$\frac{AB}{sin∠ADB}$，
∴DB=$\frac{AB•sin∠DAB}{sin∠ADB}$=$\frac{5（3+\sqrt{3}）•sin45°}{sin105°}$
=$\frac{5（3+\sqrt{3}）•sin45°}{sin45°cos60°+cos45°sin60°}$
=$\frac{5\sqrt{3}（\sqrt{3}+1）}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}$=10$\sqrt{3}$（海里） …（6分）
（Ⅱ）在△DBC中，∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+（90°-60°）=60°，…（8分）
BC=20$\sqrt{3}$（海里），由余弦定理得
CD²=BD²+BC²-2BD•BC•cos∠DBC=300+1200-2×10$\sqrt{3}$×20$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=900，…（10分）
∴CD=30（海里），则需要的时间t=$\frac{30}{30}$=1（小时）．…（11分）
答：救援船到达D点需要1小时．…（12分）

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，解三角形的实际问题的应用，考查计算能力．