Question

6．代数式（1+x+px²）¹⁰的展开式中，试求使x⁴项的系数最小时p的值．

Answer 1

分析 可将1+x看作整体，求出展开式的通项公式T_r+1，再求其中（1+x）^10-r的通项公式，令l+2r=4，则l=0，r=2或l=2，r=1或l=4，r=0．由条件求出展开式中x⁴的系数，即可求使x⁴项的系数最小时p的值．

解答 解：（1+x+px²）¹⁰的展开式的通项公式T_r+1=${C}_{10}^{r}•（1+x）^{10-r}•（p{x}^{2}）^{r}$，r=0，1，…，10
其中（1+x）^10-r的通项公式T_l+1=${C}_{10-r}^{l}{x}^{l}$，l=0，1，…，10-r．
令l+2r=4，则l=0，r=2或l=2，r=1或l=4，r=0．
则有展开式中x⁴的系数为：${C}_{10}^{2}{C}_{8}^{0}$p²+${C}_{10}^{1}{C}_{9}^{2}$p+${C}_{10}^{0}{C}_{10}^{4}$=45p²+360p+210=45（p+4）²-510，
∴使x⁴项的系数最小时p的值为-4．

点评 本题考查二项式展开式的通项公式的运用，考查运算能力和分类思想，属于中档题．