Question

6．若$\overrightarrow a$=（0，3），$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{c}$=3$\overrightarrow{a}$+5$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=m$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$，
（1）试问m为何值时，$\overrightarrow c$与$\overrightarrow{d}$互相平行；
（2）试问m为何值时，$\overrightarrow c$与$\overrightarrow{d}$互相垂直．

Answer 1

分析 先根据向量的坐标的加减运算求出$\overrightarrow c$与$\overrightarrow{d}$，再分别根据平行和垂直的条件的计算即可．

解答 解：∵$\overrightarrow a$=（0，3），$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$，1），
∴$\overrightarrow{c}$=3$\overrightarrow{a}$+5$\overrightarrow{b}$=3（0，3）+5（$\sqrt{3}$，1）=（5$\sqrt{3}$，14），
$\overrightarrow{d}$=m$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$=m（0，3）-5（$\sqrt{3}$，1）=（-5$\sqrt{3}$，3m-5），
（1）∵$\overrightarrow c$与$\overrightarrow{d}$互相平行，
∴5$\sqrt{3}$（3m-5）=-5$\sqrt{3}$×14，解得m=-3，
（2）∵$\overrightarrow c$与$\overrightarrow{d}$互相垂直，
∴5$\sqrt{3}$×（-5$\sqrt{3}$）+14（3m-5）=0，解得m=$\frac{145}{42}$．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理和平面向量基本定理，属于基础题．