Question

2．数列{a_n}的前n项和是S_n，若数列{a_n}的各项按如下规则排列：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$，…，$\frac{1}{n}$，$\frac{2}{n}$，…，$\frac{n-1}{n}$，…，有如下运算和结论：
①a₂₃=$\frac{3}{8}$；
②S₁₁=$\frac{31}{6}$；
③数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等比数列；
④数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…的前n项和T_n=$\frac{{n}^{2}+n}{4}$；
在横线上填写出所有你认为是正确的运算结果或结论的序号②④．

Answer 1

分析 将数列的项进行重新分组，结合等差数列的性质分别进行判断即可．

解答 解：由题意可得，分母为2的有一个，分母为3的有2个，分母为4的有3个，分母为5的有4个，分母为6的有5个，…
由于1+2+3+4+5+6=21，
故a₂₃是分母为8的第二个，即a₂₃=$\frac{2}{8}$．故①错误，
把原数列分组，分母相同的为一组：（$\frac{1}{2}$）；（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）；（$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$）；（$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）；$\frac{1}{6}$…；
发现他们的个数是1，2，3，4，5…，
构建新数列{b_n}表示数列中每一组的和，则b_n=$\frac{1}{n+1}+\frac{2}{n+1}+…+\frac{n}{n+1}$=$\frac{\frac{（n+1）n}{2}}{n+1}$=$\frac{n}{2}$是个等差数列，
记b_n的前n项和为T_n，
则S₁₁=T₄+a₁₁=$\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\frac{3}{2}+\frac{4}{2}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{31}{6}$；故②正确，
由②知{b_n}为等差数列，故③错误，
由②知{b_n}为等差数列，且故b_n=$\frac{1}{n+1}+\frac{2}{n+1}+…+\frac{n}{n+1}$=$\frac{\frac{（n+1）n}{2}}{n+1}$=$\frac{n}{2}$，
则前n项和T_n=$\frac{（\frac{1}{2}+\frac{n}{2}）n}{2}$=$\frac{{n}^{2}+n}{4}$，故④正确，
故正确的是②④
故答案为：②④

点评 本题目主要考查学生对数列的观察能力，找出数列之间的相互关系，根据等差数列的前n项和计算公式，根据已有条件计算．考查学生的计算能力以及对问题的分析能力．