Question

已知命题p：x²≤5x-4，命题q：x²-（a+2）x+2a≤0
（1）求命题p中对应x的范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次不等式的解法，即可求命题p中对应x的范围；
（2）利用p是q的必要不充分条件，建立条件关系，即可求a的取值范围．

解答：解：（1）∵x²≤5x-4，
∴x²-5x+4≤0，
即（x-1）（x-4）≤0，
∴1≤x≤4，
即命题p中对应x的范围为1≤x≤4；
（2）设命题p对应的集合为A={x|1≤x≤4}．
由x²-（a+2）x+2a≤0，得（x-2）（x-a）≤0，
当a=2时，不等式的解为x=2，对应的解集为B={2}，
当a＞2时，不等式的解为2≤x≤a，对应的解集为B={x|2≤x≤a}，
当a＜2时，不等式的解为a≤x≤2，对应的解集为B={x|a≤x≤2}，
若p是q的必要不充分条件，
则B?A，
当a=2时，满足条件．
当a＞2时，∵A={x|1≤x≤4}，B={x|2≤x≤a}，
要使B?A，则满足2＜a≤4，
当a＜2时，∵A={x|1≤x≤4}，B={x|2≤x≤a}，
要使B?A，则满足1≤a＜2，
综上：1≤a≤4．

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，以及充分条件和必要条件的应用，涉及的知识点较多．