Question

【题目】已知函数为奇函数，，其中.

(1)若函数的图像过点，求实数和的值；

(2)若，试判断函数在上的单调性并证明；

(3)设函数若对每一个不小于的实数，都恰有一个小于的实数，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 （3）

【解析】

（1）运用奇函数的定义可得，再由图象经过点，解方程可得；

（2）在，递增．运用单调性的定义，结合因式分解和指数函数的单调性，即可得证；

（3）求得当时，；当时，．分别讨论，，，运用基本不等式和单调性，求得的范围．

为奇函数

，即恒成立，

的图像过点

有题意知，在上单调递增

证明：任取，

则

，，

，函数在区间上单调递增；

当时，

当时，

① 当时， ，

不满足条件，舍；

②当时，，

由题可知，即，

③当时，，

由题可知，即

令单调递减，

，可得

综上: