Question

如图所示的几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED为正方形，且所在平面垂直于平面ABC．
（Ⅰ）证明：平面ADE∥平面BCF；  
（Ⅱ）求二面角D-AE-F的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BC的中点O，ED的中点G，连接AO，OF，FG，AG，则AO⊥BC，利用面面垂直的性质，可得线面垂直，从而可线线平行，进而可得线线平行，利用面面平行的判定，即可得到结论；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，确定平面ADE、平面AEF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．

解答：（Ⅰ）证明：取BC的中点O，ED的中点G，连接AO，OF，FG，AG，则AO⊥BC，
又平面BCED⊥平面ABC，平面BCED∩平面ABC=BC
所以AO⊥平面BCED，
同理FG⊥平面BCED，
所以AO∥FG，
又AO=FG，
所以四边形AOFG为平行四边形，所以AG∥OF，
又DE∥BC，所以平面ADE∥平面BCF．…（6分）
（Ⅱ）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
设BC=2，则A(

3

，0，0)，D（0，1，2），E（0，-1，2），F(-

3

，0，2)，

AD

=(-

3

，1，2)，

AE

=(-

3

，-1，2)，

AF

=(-2

3

，0，2)．
设平面ADE的一个法向量是

n

=（x，y，z），则

n • AD =0 n • AE =0

，∴

- 3 x+y+2z=0 - 3 x-y+2z=0

，∴

z= 3 2 x y=0

，
令x=2，得

n

=(2，0，

3

)．…（9分）
设平面AEF的一个法向量是

m

=（x′，y′，z），则

m • AE =0 m • AF =0

，∴

- 3 x′-y′+2z′=0 -2 3 x′+2z′=0

，∴

z′= 3 x′ y′= 3 x′

令x′=1，得

m

=(1，

3

，

3

)．
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2+3

4+3 × 1+3+3

=

5

7

，
易知二面角D-AE-F为锐二面角，故其余弦值为

5

7

，所以二面角D-AE-F的正切值为

2 6

5

．…（12分）

点评：本题考查面面平行的判定，考查面面垂直的性质，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力．