Question

2．如果二面角α-l-β内部一点P到α，β，l的距离分别为1，1，$\sqrt{2}$，该二面角的大小为90°．

Answer 1

分析 由二面角α-l-β内部一点P到α，β的距离分别PA=PB=1，P到棱l的距离PO=$\sqrt{2}$，利用三垂线定理得∠AOB是二面角α-l-β的平面角，由此能求出二面角α-l-β的大小．

解答 解：如图，二面角α-l-β内部一点P到α，β的距离分别PA=PB=1，
P到棱l的距离PO=$\sqrt{2}$，
则PA⊥α，A是垂足，PB⊥β，B是垂足，PO⊥l，O是垂足，
连结AO，BO，由三垂线定理得AO⊥l，BO⊥l，
∴∠AOB是二面角α-l-β的平面角，
∵AO，BO，PO都于直线l垂直，∴A、O、B、P共面，
∵PA=PB=1，PO=$\sqrt{2}$，PA⊥AO，PB⊥BO，
∴AO=BO=$\sqrt{2-1}$=1，
∴∠POA=∠POB=45°，
∴∠AOB=∠POA+∠POB=45°+45°=90°．
∴二面角α-l-β的大小为90°．
故答案为：90°．

点评 本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．