Question

如，四边形ABCD是边长为a的正方形，PD⊥平面ABCD，MA∥PD，E，F，G分别为MB，PC，PB的中点，且AD=PD=2MA．
（1）求证：平面EFG⊥平面PDC；
（2）求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比．

Answer 1

分析：（1）要证平面EFG⊥平面PDC，只需在平面EFG内找一直线与平面PDC垂直，而根据线面垂直的判定定理可知GF⊥平面PDC，GF∈平面EFG，满足定理条件，即可得证；（2）设MA=1，求出PD=AD，得到V_p-ABCD=

1

3

S_{正方形ABCD}•PD，求出PD，根据DA⊥面MAB，可得DA即为点P到平面MAB的距离，根据三棱锥的体积公式求出体积得到V _P-MAB：V _P-ABCD的比值．

解答：（1）证明：由已知PD⊥平面ABCD，
因为BC∈平面ABCD，所以PD⊥BC，
因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥CD，
又PD∩DC=D，所以BC⊥平面PDC，
在△PBC中，因为G、F分别是PB、PC中点，
所以GF∥BC，故GF⊥平面PDC，又GF∈平面EFG，
所以平面EFG⊥平面PDC；
（2）因为PD⊥平面ABCD，
四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1，
则PD=AD=2，所以V_p-ABCD=

1

3

S_{正方形ABCD}•PD=

8

3

，
由于DA⊥面MAB，所以DA即为点P到平面MAB的距离，
所以三棱锥Vp-MAB=

1

3

×

1

2

×1×2×2=

2

3

，
所以V _P-MAB：V _P-ABCD=1：4．

点评：本题考查空间中的线面关系，考查线面垂直、面面垂直的判定及几何体体积的计算，考查试图能力和逻辑思维能力．