Question

设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．

(1)求C的圆心轨迹L的方程；

(2)已知点M(，)，F(，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．

 

Answer 1

（1）－y2＝1

（2）(，－)

【解析】(1)依题意得两圆的圆心分别为F1(－，0)，F2(，0)，从而可得|CF1|＋2＝|CF2|－2或|CF2|＋2＝|CF1|－2，

所以||CF2|－|CF1||＝4＝2a<|F1F2|＝2＝2c，

所以圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴长为4，焦距为2的双曲线，

因此a＝2，c＝，b2＝c2－a2＝1，

故C的圆心轨迹L的方程为－y2＝1．

(2)过点M，F的直线l的方程为y＝－2(x－)，将其代入－y2＝1中，解得x1＝，x2＝，故直线l与L的交点为T1(，－)，T2(，)，

因为T1在线段MF外，T2在线段MF上，

所以||MT1|－|FT1||＝|MF|＝2，||MT2|－|FT2||<|MF|＝2．

若点P不在MF上，则||MP|－|FP||<|MF|＝2．

综上所述，||MP|－|FP||只在点T1处取得最大值，

即||MP|－|FP||的最大值为2，

此时点P的坐标为(，－)．