Question

已知函数f(x)＝axln x图象上点(e，f(e))处的切线与直线y＝2x平行，g(x)＝x²－tx－2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[n，n＋2](n>0)上的最小值；
(3)对一切x∈(0，e]，3f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）f(x)＝xln x  （2）－    (3) [－1，＋∞)

(1)由f(x)在点(e，f(e))处的切线方程与直线2x－y＝0平行，得该切线斜率为2，即f′(e)＝2.
又∵f′(x)＝a(ln x＋1)，∴a(ln e＋1)＝2，a＝1，
所以f(x)＝xln x.
(2)由(1)知f′(x)＝ln x＋1，显然f′(x)＝0时，x＝e^－1，当x∈时，f′(x)<0，所以函数f(x)在上单调递减，当x∈时f′(x)>0，所以函数f(x)在上单调递增，①当∈(n，n＋2]时，f(x)_min＝f＝－；
②当≤n<n＋2时，函数f(x)在[n，n＋2]上单调递增，因此f(x)_min＝f(n)＝nln n；
所以f(x)_min＝
(3)对一切x∈(0，e]，3f(x)≥g(x)恒成立，又g(x)＝x²－tx－2，∴3x ln x≥x²－tx－2，
即t≥x－3ln x－.设h(x)＝x－3ln x－，x∈(0，e]，则h′(x)＝1－＋＝，由h′(x)＝0得x＝1或2，∴x∈(0,1)，h′(x)>0，h(x)单调递增，x∈(1,2)，h′(x)<0，h(x)单调递减，x∈(2，e)，h′(x)>0，h(x)单调递增，∴h(x)_极大值＝h(1)＝－1，且h(e)＝e－3－2e^－1<－1，所以h(x)_max＝h(1)＝－1.
因为对一切x∈(0，e]，3f(x)≥g(x)恒成立，
∴t≥h(x)_max＝－1.故实数t的取值范围是[－1，＋∞)．