Question

已知函数f(x)＝aln x＝(a为常数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－5＝0垂直，求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)当x≥1时，f(x)≤2x－3恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）a＝1（2）f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为（3）a≤1.

(1)函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，f′(x)＝.
又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－5＝0垂直，
所以f′(1)＝a＋1＝2，即a＝1.(4分)
(2)由f′(x)＝ (x＞0)，
当a≥0时，
f′(x)＞0恒成立，所以f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
当a＜0时，
由f′(x)＞0，得0＜x＜－，
所以f(x)的单调增区间为；
由f′(x)＜0，得x＞－，
所以f(x)的单调减区间为.(10分)
(3)设g(x)＝aln x－－2x＋3，x∈[1，＋∞)，
则g′(x)＝＋－2＝.
令h(x)＝－2x²＋ax＋1，考虑到h(0)＝1＞0，
当a≤1时，
h(x)＝－2x²＋ax＋1的对称轴x＝＜1，
h(x)在[1，＋∞)上是减函数，h(x)≤h(1)＝a－1≤0，
所以g′(x)≤0，g(x)在[1，＋∞)上是减函数，
所以g(x)≤g(1)＝0，即f(x)≤2x²－3恒成立．
当a＞1时，
令h(x)＝－2x²＋ax＋1＝0，
得x₁＝＞1，x₂＝＜0，
当x∈[1，x₁)时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，
g(x)在[1，x₁)上是增函数；
当x∈(x₁，＋∞)时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，
g(x)在(x₁，＋∞)上是减函数．
所以0＝g(1)＜g(x₁)，即f(x₁)＞2x₁－3，不满足题意．
综上，a的取值范围为a≤1.(16分)