Question

已知函数的图像过坐标原点，且在点处的切线的斜率是．
（1）求实数的值；
（2）求在区间上的最大值；
（3）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在轴上？请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）在上的最大值为；（3）对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在y轴上．

试题分析：（1）求实数的值，由函数，由图像过坐标原点，得，且根据函数在点处的切线的斜率是，由导数几何意义可得，建立方程组，可确定实数的值，进而可确定函数的解析式；（2）求在区间的最大值，因为，由于是分段函数，可分段求最大值，最后确定最大值，当时，，求导得，，令，可得在上的最大值为，当时，．对讨论，确定函数的单调性，即可求得结论；（3）这是探索性命题，可假设曲线上存在两点满足题设要求，则点只能在轴两侧．设的坐标，由此入手能得到对任意给定的正实数，曲线上存在两点使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．
试题解析：（1）当时，则 （1分）
依题意，得即，解得．     （3分）
（2）由（1）知，
①当时令得或     （4分）
当变化时的变化情况如下表：

		0			（）
	—	0	+	0	—
	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

又
所以在上的最大值为．                  （6分）
②当时，
当时， ，所以的最大值为0 ；
当时，在上单调递增，所以在上的最大值为．（7分）
综上所述，
当，即时，在上的最大值为2；
当，即时，在上的最大值为 ．     （9分） 
（3）假设曲线上存在两点满足题设要求，则点只能在y轴的两侧．
不妨设，则，显然
因为是以为直角顶点的直角三角形，
所以，即    ①
若方程①有解，则存在满足题意的两点；若方程①无解，则不存在满足题意的两点
若，则，代入①式得，
即，而此方程无实数解，因此．                        （11分） 
此时，代入①式得,即   ②
令，则，所以在上单调递增，因为，所以，当时，，所以的取值范围为。所以对于，方程②总有解，即方程①总有解．
因此对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在y轴上．                （14分）