Question

已知函数f(x)＝ln x＋－1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设m∈R，对任意的a∈(－1,1)，总存在x₀∈[1，e]，使得不等式ma－f(x₀)<0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）单增区间是(1，＋∞)，单减区间是(0,1)（2）－≤m≤

(1)f′(x)＝－＝，且x＞0.
令f′(x)＞0，得x＞1；令f′(x)＜0，得0＜x＜1.
因此函数f(x)的单增区间是(1，＋∞)，单减区间是(0,1)．
(2)依题意，只要满足ma＜f(x)_max.
由(1)知，f(x)在[1，e]上是增函数，
∴f(x)_max＝f(e)＝ln e＋－1＝，
从而ma＜，即ma－＜0对于任意a∈(－1,1)恒成立．
∴解之得－≤m≤..
因此实数m的取值范围是－≤m≤.