设抛物线y2＝2px的焦点为F.经过点F的直线交抛物线于A.B两点.点C在抛物线的准线上.且BC∥x轴.证明直线 AC经过原点O. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

设抛物线y²＝2px(p＞ 0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点.点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线 AC经过原点O.

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思路解析：本题的解法很多，采用坐标方法进行代数推理，可以证明OA与OC的斜率相等，证明AO+OC=AC，证明OC与BF的交点A在抛物线上，证明AC的方程形如y=φ(p)x，等等，每种证明又有不同的表述形式，甚至可以用参数方程法，采用平面几何方法进行推理.

证法一：如图所示，

因为抛物线y²=2px(p＞0)的焦点为F（，0），所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+，代入抛物线方程得y²-2pmy-p²=0.

若记A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则y₁,y₂是该方程的两个根，所以y₁y₂=-p².

因为BC∥x轴，且点C在准线x=-上，所以点C的坐标为（-，y₂）.

故直线CO的斜率为

k===,

即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.

证法二：设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂).

因为BC∥x轴，所以C（-，y₂）.

因为A、B在抛物线上，

所以y₁²=2px₁,y₂²=2px₂.

又因为直线AB过焦点F，

所以k_AF=k_BF，即=.

所以.

所以y₁y₂(y₂-y₁)=p²(y₁-y₂).

因为y₁≠y₂，所以y₁y₂=-p².

因为k_OC=====k_OA,

所以直线AC经过原点O.

证法三：因为抛物线y²=2px(p＞0)的焦点为（,0），

所以设直线AB的方程为x=ky+.

由

消去x得y²-2pky-p²=0.

所以y_A·y_B=-p².

因为A（,y_A）,C(-,y_B),即C(-,-)，

所以直线AC的方程为=.

化简得y=x.

显然，原点O适合此方程，所以原点O在直线AC上.

证法四：设B（a，b），则C(-,b)，F(,0),

所以直线BF的方程为y(a-)=b(x-)，

直线OC的方程为y=-x.

所以

消y得-x(a-)=b(x-).

所以所以A′(，-).

因为B在抛物线y²=2px上，所以b²=2ap.

所以A′(，-).

所以(-)²==2p·.

所以A′在抛物线y²=2px上.所以A′与A重合，即直线AC经过原点O.

证法五：如下图所示，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作AD⊥l，D是垂足，则AD∥FE∥BC.

连结AC，与EF相交于点N，则，.

根据抛物线的性质,得|AF|=|AD|，|BF|=|BC|.

所以|EN|===|NF|,

即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O.

证法六：如下图所示，

设准线交x轴于点E，过A点作AM⊥x轴于M.

设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则C（-,y₂）,所以=.

由证法二知y₁=，

又，

所以=.所以△AOM∽△COE.所以∠AOM=∠COE.

故A、O、C三点共线，即直线AC过原点O.

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