Question

已知函数，.

（1）当时，证明：；

（2）若，求k的取值范围.

 

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）(－∞，0].

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、不等式的基本性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力，考查学生的函数思想.第一问，先将转化为，先得到表达式，对求导，利用“单调递增；单调递减”解不等式求函数的单调区间，利用函数的单调性确定最小值所在的位置；第二问，将转化为，令F(x)＝f(x)－g(x)对f(x)求导，由于的正负不明显，所以进行二次求导，二次求导后得到G?(x)＝ex－k，只需讨论k的正负，通过的单调性，求出的最值，来判断的正负，来判断的单调性，从而求的最值.

（1）当k＝1时，设h(x)＝f(x)－g(x)＋＝ex－x－1，h?(x)＝ex－1． 1分

当x∈(－∞，0)时，h?(x)＜0，h(x)单调递减；

当x∈(0，＋∞)时，h?(x)＞0，h(x)单调递增．

所以h(x)≥h(0)＝0．

故f(x)≥g(x)－． 4分

（2）设F(x)＝f(x)－g(x)＝ex－x2－x－1，则F?(x)＝ex－kx－1．

设G(x)＝ex－kx－1，则G?(x)＝ex－k． 6分

（1）若k≤0时，则G?(x)＞0，G(x)单调递增，

当x∈(－∞，0)时，G(x)＜G(0)＝0，即F?(x)＜0，F(x)单调递减；

当x∈(0，＋∞)时，G(x)＞G(0)＝0，即F?(x)＞0，F(x)单调递增．

故F(x)≥F(0)＝0，此时f(x)≥g(x)． 9分

（2）若k＞0，则

当x∈(－∞，－)时，ex－1＜0，－x2－x＝－x(kx＋2)＜0，

从而F(x)＝ex－1－x2－x＜0，这时f(x)≥g(x)不成立． 11分

综上，k的取值范围是(－∞，0]． 12分

考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、不等式的基本性质.