Question

已知数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，S₃=12．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）求数列{a_nxⁿ}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设公差为d，则a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）=12且a₁=2，解方程即可得公差d，再由等差数列的通项公式即可得数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）数列{a_nxⁿ}是由一个等差数列与一个等比数列的积构成的，求和适用错位相减法，当x=1时，即为等差数列求和，当x≠1时，将和式两边乘以公比x，再错位相减，即可得数列{a_nxⁿ}的前n项和T_n

解答：解：（Ⅰ）设公差为d，则a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）=12且a₁=2，所以d=2，
∴a_n=2n
（Ⅱ）T_n=2x+4x²+…（2n-2）x^n-1+2nxⁿ…①
xT_n=2x²+4x³+…+（2n-2）xⁿ+2nxⁿ⁺¹…②
当x≠1时：①-②得 (1-x)Tn=2(x+x2+…xn)-2nxn+1=

2x(1-xn)

1-x

-2nxn+1
Tn=

2x(1-xn)

(1-x)2

-

2nxn+1

1-x

当x=1时，S_n=n（n+1）综上
Tn=

n(n+1)；x=1 2x(1-xn) (1-x)2 - 2nxn+1 1-x ；x≠1

点评：本题考察了等差数列的通项公式和性质，考察了数列求和的方法--错位相减法，解题时要学会辨别数列类型，确定求和方法，认真运算，避免出错