Question

2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.

(1)设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为a₁=，经过n年后绿化的面积为a_n+1,试用a_n表示a_n+1;

(2)求数列{a_n}的第n+1项a_n+1;

(3)至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%?(lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)

Answer 1

解:(1)设现有非绿化面积为b₁,经过n年后非绿化面积为b_n+1.

    于是a₁+b₁=1,a_n+b_n=1.

    依题意，a_n+1是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积a_n减去被非绿化部分a_n后剩余的面积a_n，另一部分是新绿化的面积b_n，于是

    a_n+1=a_n+b_n=a_n+(1-a_n)

    =a_n+.

    (2)a_n+1=a_n+,a_n+1-=(a_n-).

    数列{a_n-}是公比为,首项为a₁-=-=-的等比数列.

    ∴a_n+1=+(-)()ⁿ.

    (3)a_n+1＞60%,+(-)()ⁿ＞,()ⁿ＜,n(lg9-1)＜-lg2,n＞≈6.572 0.

    至少需要7年，绿化率才能超过60%.