Question

2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化．
（1）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为a₁=，经过n年后绿化的面积为a_n+1，试用a_n表示a_n+1；
（2）求数列{a_n}的第n+1项a_n+1；
（3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%．（lg2=0.3010，lg3=0.4771）

Answer 1

【答案】分析：（1）当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积，设出现有非绿化面积和经过n年后的绿化面积，得到两个数列之间的关系，把组成a_n+1的两部分写出来，得到递推式．
（2）根据所给的数列的递推式，凑出一个等比数列，根据等比数列的首项和公比，写出这个数列的通项．
（3）由题意知本题需要解a_n+1＞60%，代入数列 的通项，要求的变量在指数位置，这种题目一般需要两边取对数，根据所给的两个特殊的对数值，得到结果，根据实际意义得到n的整数．
解答：解：（1）设现有非绿化面积为b₁，经过n年后非绿化面积为b_n+1．
于是a₁+b₁=1，a_n+b_n=1．
依题意，a_n+1是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积a_n减去被非绿化部分a_n后剩余的面积a_n，
另一部分是新绿化的面积b_n，于是
a_n+1=a_n+b_n=a_n+（1-a_n）
=a_n+．
（2）a_n+1=a_n+，a_n+1-=（a_n-）．
数列{a_n-}是公比为，首项a₁-=-=-的等比数列．
∴a_n+1=+（-）（）ⁿ．
（3）由题意得到a_n+1＞60%，
+（-）（）ⁿ＞，（）ⁿ＜，
n（lg9-1）＜-lg2，
n＞≈6.5720．
至少需要7年，绿化率才能超过60%．
点评：本题考查等比数列的通项，考查由数列的递推式求数列的通项式，考查解关于对数式的不等式，考查用数列知识解决实际问题．