Question

已知曲线

y=2t-3 5 x=t-2 5

（t为参数），曲线

y=sinθ x=cosθ

（θ为参数）
（I） 将曲线C₁和曲线C₂化为普通方程，并判断两者之间的位置关系；
（II） 分别将曲线C₁和曲线C₂上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，得到新曲线

C

′ 1

和

C

′ 2

，

C

′ 1

与

C

′ 2

的交点个数和C₁与C₂的交点个数是否相同？给出理由．

Answer 1

分析：（I）由∵曲线C₁：

y=2t-3 5 x=t-2 5

（t为参数），知y=2x+

5

．由曲线C₂：

y=sinθ x=cosθ

（θ为参数），知x²+y²=1．由此知曲线C₁和曲线C₂相切．
（II）y=2x+

5

上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，得到

C

′ 1

：y=x+

5

．x²+y²=1上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，得到

C

′ 2

：

x2

4

+y2=1．由此能得到

C

′ 1

与

C

′ 2

的交点个数和C₁与C₂的交点个数相同．

解答：解：（I）∵曲线C₁：

y=2t-3 5 x=t-2 5

（t为参数），
∴y=2x+

5

．
∵曲线C₂：

y=sinθ x=cosθ

（θ为参数），
∴x²+y²=1．
∵圆心（0，0）到直线y=2x+

5

的距离d=

| 5 |

5

=1=圆半径，
∴曲线C₁和曲线C₂相切．
（II）y=2x+

5

上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，
得到

C

′ 1

：y=x+

5

．
x²+y²=1上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，
得到

C

′ 2

：

x2

4

+y2=1．
由（Ⅰ）知曲线C₁和曲线C₂相切，故曲线C₁和曲线C₂有一个交点．
把

C

′ 1

：y=x+

5

代入

C

′ 2

：

x2

4

+y2=1，
并整理，得5x2+8

5

x+16=0，
∵△=(8

5

)2-4×5×16=0，
∴

C

′ 1

与

C

′ 2

的交点个数也是一个．
即

C

′ 1

与

C

′ 2

的交点个数和C₁与C₂的交点个数相同．

点评：本题考查直线和圆的参数方程的应用，考查函数的伸缩变换，考查点到直线的距离公式，考查直线和圆、直线和椭圆的位置关系．