Question

本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
（I）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=

0 1 a 0

，矩阵B=

0 2 b 0

，直线l1：x-y+4=0经矩阵A所对应的变换得直线l₂，直线l₂又经矩阵B所对应的变换得到直线l₃：x+y+4=0，求直线l₂的方程．
（II）选修4-4：坐标系与参数方程
求直线

x=-1+2t y=-2t

被曲线

x=1+4cosθ y=-1+4sinθ

截得的弦长．
（III）选修4-5：不等式选讲
若存在实数x满足不等式|x-4|+|x-3|＜a，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由BA=

02 b0

0 1 a 0

=

2a 0 0 b

，得l₁变换到l₃的变换公式

x′=2ax y′=by

从而2ax+by+4=0即直线l₁：x-y+4=0，列出关于a，b的方程即可求得a，b即可．
（II）先得出直线

x=-1+2t y=-2t

的普通方程为x+y+1=0及曲线

x=1+4cosθ y=-1+4sinθ

即圆心为（1，-1）半径为4的圆  利用圆心（1，-1）到直线的距离即可求得直线被曲线截得的弦长；
（III）先利用绝对值不等式的性质得出y=|x-4|+|x-3|的最小值为1再根据原不等式有实数解，即可求得a的取值范围．

解答：解：（1）（本小题满分7分）
解：BA=

02 b0

0 1 a 0

=

2a 0 0 b

，
得l₁变换到l₃的变换公式

x′=2ax y′=by

，…（2分）则2ax+by+4=0即直线l₁：x-y+4=0，
则有

2a=1 b=-1

解得a=

1

2

，b=-1…（4分）
此时B=

0 2 -1 0

，同理可得l₂的方程为2y-x+4=0
即x-2y-4=0．…（7分）
（2）（本小题满分7分）
解：直线

x=-1+2t y=-2t

的普通方程为x+y+1=0…（2分）
曲线

x=1+4cosθ y=-1+4sinθ

即圆心为（1，-1）半径为4的圆  …（4分）
则圆心（1，-1）到直线x+y+1=0的距离d=

|1-1+1|

12+12

=

2

2

…（5分）
设直线被曲线截得的弦长为t，则t=2

42-( 2 2 )2

=

62

，
∴直线被曲线截得的弦长为

62

…（7分）
（3）（本小题满分7分）
解：∵|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）|…（2分）∴y=|x-4|+|x-3|的最小值为1   …（4分）
又因为原不等式有实数解，所以a的取值范围是（1，+∞）．…（7分）

点评：本小题主要考查几种特殊的矩阵变换、圆的参数方程、不绝对值不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．