Question

本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=

3 3 c d

，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为

α

=

1 1

，属于特征值1的一个特征向量为

β

=

^

&-2；
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）判断矩阵A是否可逆，若可逆求出其逆矩阵A^-1．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

，圆M的参数方程为

x=2cosθ y=-2+2sinθ

（其中θ为参数）．
（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲，设函数f（x）=|x-1|+|x-a|；
（Ⅰ）若a=-1，解不等式f（x）≥3；
（Ⅱ）如果关于x的不等式f（x）≤2有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）利用矩阵属于特征值的一个特征向量的定义，我们可以建立方程，从而可以求出c=2，d=4，即可得到矩阵A；
（Ⅱ）根据

.

3 3 2 4

.

=6≠0，可知矩阵A可逆，，从而可求出A-1=

2 3 - 1 2 - 1 3 1 2

（2）（Ⅰ）先利用和角的三角函数展开，再利用极坐标与直角坐标的互化公式可以求出直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）利用圆M的普通方程为：x²+（y+2）²=4，再根据圆心M（0，-2）到直线x+y-1=0的距离公式，我们可以求出圆M上的点到直线的距离的最小值；
（3）（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=|x-1|+|x+1|．由f（x）≥3，得，|x-1|+|x+1|≥3，分类讨论，我们可以求出不等式的解集；
（Ⅱ）因为关于x的不等式f（x）≤2有解，所以，f（x）_min≤2，从而我们可以得到|a-1|≤2，即可求出a的取值范围．

解答：（1）解：（Ⅰ）∵矩阵A属于特征值6的一个特征向量为

α

=

1 1

，∴A

α

=6

α

∴

3 3 c d

1 1

=6

1 1

，得c+d=6①---------------（2分）
同理

3 3 c d

3 -2

=

3 -2

，得，3c-2d=-2②----------------（3分）
由①②联立，解得，c=2，d=4；∴A=

3 3 2 4

…（4分）
（Ⅱ）∵

.

3 3 2 4

.

=6≠0，∴矩阵A可逆，…（5分）
∴A-1=

2 3 - 1 2 - 1 3 1 2

…（7分）
（2）（Ⅰ）∵ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

，∴

2

2

(ρsinθ+ρcosθ)=

2

2

，
∴ρsinθ+ρcosθ=1．----------------（2分）
所以，该直线的直角坐标方程为：x+y-1=0．----------------（3分）
（Ⅱ）圆M的普通方程为：x²+（y+2）²=4----------------（4分）
圆心M（0，-2）到直线x+y-1=0的距离d=

|0-2-1|

2

=

3 2

2

．---------------（5分）
所以，圆M上的点到直线的距离的最小值为

3 2

2

-2．----------------（7分）
（3）（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=|x-1|+|x+1|．
由f（x）≥3，得，|x-1|+|x+1|≥3．
①当x≤-1时，不等式化为1-x-1-x≥3，即x≤-

3

2

．所以，原不等式的解为x≤-

3

2

．…（1分）
②当-1＜x＜1时，不等式化为1-x+1+x≥3，即2≥3．所以，原不等式无解．…（2分）
③当x≥1时，不等式化为-1+x+1+x≥3，即x≥

3

2

．所以，原不等式的解为x≥

3

2

．…（3分）
综上，原不等式的解为(-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞)．…（4分）
（Ⅱ）因为关于x的不等式f（x）≤2有解，所以，f（x）_min≤2．…（5分）
因为|x-1|+|x-a|表示数轴上的点到x=1与x=a两点的距离之和，
所以，f（x）_min=|a-1|．…（6分）
∴|a-1|≤2，解得，-1≤a≤3．
所以，a的取值范围为[-1，3]．…（7分）

点评：本题是选做题，考查矩阵，坐标系与参数方程，考查不等式，熟悉各个知识点，熟练运用公式是我们解题的关键．