Question

某厂家拟对一商品举行促销活动，当该商品的售价为x元时，全年的促销费用为12（15-2x）（x-4）万元；根据以往的销售经验，实施促销后的年销售量t=12(x-8)2+

a

x-4

万件，其中4＜x＜7.5，a为常数．当该商品的售价为6元时，年销售量为49万件．
（Ⅰ）求出a的值；
（Ⅱ）若每件该商品的成本为4元时，写出厂家销售该商品的年利润y万元与售价x元之间的关系；
（Ⅲ）当该商品售价为多少元时，使厂家销售该商品所获年利润最大．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据该商品的售价为6元时，年销售量为49万件，t=12(x-8)2+

a

x-4

，即可求得a的值；
（Ⅱ）每件该商品的成本为4元时，y=（x-4）t-[12（15-2x）（x-4）]，由此可得函数关系式；
（Ⅲ）求导函数，确定函数的单调性，可得当x=5时，函数取得极大值，且为最大值，最大值为50．

解答：解：（Ⅰ）∵该商品的售价为6元时，年销售量为49万件，t=12(x-8)2+

a

x-4

，
∴49=12（6-8）²+

a

2

∴a=2；
（Ⅱ）每件该商品的成本为4元时，y=（x-4）t-[12（15-2x）（x-4）]
∴y=（x-4）[12(x-8)2+

2

x-4

]-[12（15-2x）（x-4）]
=12（x-4）（x-7）²+2（4＜x＜7.5）
（Ⅲ）y′=36（x-7）（x-5）
令y′＞0，4＜x＜7.5，可得4＜x＜5或7＜x＜7.5；令y′＜0，4＜x＜7.5，可得5＜x＜7；
∴当x=5时，函数取得极大值，且为最大值，最大值为50
∴该商品售价为5元时，使厂家销售该商品所获年利润最大．

点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，单峰函数极值就是最值，属于中档题．