Question

已知向量

a

=（cos（θ-

π

4

），1），

b

=（3，0），其中θ∈（

π

2

，

5π

4

），若

a

•

b

=1，求sinθ的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：利用向量的数量积的坐标运算可得cos（θ-

π

4

）=

1

3

，又θ∈（

π

2

，

5π

4

），可求得sin（θ-

π

4

）=

1-cos2(θ- π 4 )

=

2 2

3

，利用两角和的正弦即可求得答案．

解答： 解：∵

a

=（cos（θ-

π

4

），1），

b

=（3，0），

a

•

b

=1，
∴

a

•

b

=3cos（θ-

π

4

）+1×0=1，
∴cos（θ-

π

4

）=

1

3

，
∵θ∈（

π

2

，

5π

4

），
∴（θ-

π

4

）∈（

π

4

，π），
∴sin（θ-

π

4

）=

1-cos2(θ- π 4 )

=

2 2

3

，
∴sinθ=sin[（θ-

π

4

）+

π

4

]=sin（θ-

π

4

）cos

π

4

+cos（θ-

π

4

）sin

π

4

=

2 2

3

×

2

2

+

2

2

×

1

3

=

4+ 2

6

．

点评：本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查同角三角函数间的关系及两角和的正弦的应用，属于中档题．