Question

函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜

π

2

)的部分图象如图所示，将y=f（x）的图象向右平移

π

4

个单位后得到函数y=g（x）的图象．
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）若△ABC的三边为a、b、c成单调递增等差数列，且g(B)=

3

2

(B＜

π

3

)，求cosA-cosC的值．

Answer 1

分析：（1）利用周期求ω，利用最高点的坐标，求出φ的值，再利用图象平移，可求函数y=g（x）的解析式；
（2）先求出B，再令cosA-cosC=t，则（sinA+sinC）²+（cosA-cosC）²=2+t²，从而可得结论．

解答：解：（1）由图知：

2π

ω

=π，ω=2，
∵f(

π

12

)=sin(2•

π

12

+φ)=1，
∴

π

6

+φ=

π

2

+2kπ，即φ=

π

3

+2kπ，
由于|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

3

，
∴f(x)=sin(2x+

π

3

)，
∴函数y=g（x）的解析式为g(x)=sin[2(x-

π

4

)+

π

3

]=sin(2x-

π

6

)．
（2）由于a，b，c成等差，且B＜

π

3

，
∴g(B)=sin(2B-

π

6

)=

3

2

，
∵2B-

π

6

∈(-

π

6

，

π

2

)，2B-

π

6

=

π

3

，∴∠B=

π

4

，
∴2sinB=sinA+sinC=

2

，
令cosA-cosC=t，
则（sinA+sinC）²+（cosA-cosC）²=2+t²，
∴t2=-2cos(A+C)=

2

，
由于t＞0，∴t=2

1

4

．

点评：本题考查函数解析式的确定，考查图象的平移，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．