Question

设函数f（x）=x³+2ax²+5x+a，g（x）=x²+bx+2，其中x∈R，a，b为常数，已知函数y=f（x）与y=g（x）在x=2处有相同的切线l．求a，b？的值，并写出切线l的方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：分别求出函数f（x）、g（x）的导数，由于函数y=f（x）与y=g（x）在x=2处有相同的切线，则有f'（2）=g'（2），f（2）=g（2），列出a，b的方程组，解出a，b即可得到．

解答： 解：由已知得f'（x）=3x²+4ax+5，g'（x）=2x+b，
因为函数y=f（x）与y=g（x）在x=2处有相同的切线．
故有f'（2）=g'（2），f（2）=g（2）．
则

8a+13=b 9a+12=2b

解得：a=-2，b=-3．
即f（x）=x³-4x²+5x-2，g（x）=x²-3x+2
所以切点为（2，0），斜率为k=1．
所以切线l的方程：x-y-2=0．

点评：本题考查导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率，考查导数的运算和解方程的运算，属于基础题．