Question

已知直线L过点P（2，0），斜率为

4

3

，直线L和抛物线y2=2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：
（1）P，M两点间的距离/PM/：（2）M点的坐标；（3）线段AB的长．

Answer 1

分析：由题意可得直线l得方程为y=

4

3

(x-2)，联立方程

y= 4 3 (x-2) y2=2x

可得，8x²-41x+32=0
（1）结合方程的根与系数的关系及中点坐标公式可求M，然后由两点间的距离公式可求PM
（2）由（1）可得M点的坐标 
（3）利用公式AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+ 16 9 )[(x1+x2)2-4x1x2]

可求AB

解答：解：由题意可得直线l得方程为y=

4

3

(x-2)
联立方程

y= 4 3 (x-2) y2=2x

8x²-41x+32=0
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂） M（x₀，y₀），则 x1+x2=

41

8

，x1x2=4，y1+y2=

4

3

(x1+x2-4)=

3

2

（1）x0=

x1+x2

2

=

41

16

，y0=

y1+y2

2

=

3

4

P，M两点间的距离PM=

(2- 41 16 )2+(0- 3 4 )2

=

15

16

（2）由（1）可得M点的坐标 (

41

16

，

3

4

)
（3）AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+ 16 9 )[(x1+x2)2-4x1x2]

=

25 9 ( 412 64 -16

)=

5

8

73

点评：本题主要考查了直线与抛物线的相交关系的应用，方程思想及方程的根与系数的关系的应用是解决本题的关键，还要注意两点间的距离公式及弦长公式的应用．