Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），点M，N，F分别为椭圆C的左顶点、上顶点、左焦点，若∠MFN=∠NMF+90°，则椭圆C的离心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，结合已知可得a，b，c的关系，进一步结合隐含条件可得关于离心率e的方程求解．

解答 解：如图，

tan∠NMF=$\frac{b}{a}$，tan∠NFO=$\frac{b}{c}$，
∵∠MFN=∠NMF+90°，∴∠NFO=180°-MFN=90°-∠NMF，
即tan∠NFO=$\frac{1}{tan∠NMF}$，
∴$\frac{b}{c}=\frac{a}{b}$，则b²=a²-c²=ac，
∴e²+e-1=0，得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．