Question

椭圆

x2

24

+

y2

16

=1，直线l：x=12，P是l上的一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|•|OP|=|OR|²，当P在l上移动时，求Q的轨迹方程．

Answer 1

分析：设点P，Q，R的坐标由点R在椭圆上及点O，Q，R共线，联立方程组，求得x_R²和y_R²，根据点O、Q、P共线，求得y_p=

12y

x

，进而代入到|OQ|•|OP|=|OR|²整理可得Q的轨迹方程．

解答：解：设点P，Q，R的坐标分别为（12，y_p），（x，y），（x_R，y_R），由题设知x_R＞0，x＞0，
由点R在椭圆上及点O，Q，R共线，
得方程组

x R2 24 + y R2 16 =1 yR xR = y x

，解得x_R²=

48x2

2x2+3y2

①，y_R²=

48y2

2x2+3y2

②
由点O、Q、P共线，得

yp

12

=

y

x

，即y_p=

12y

x

由题设|OQ|•|OP|=|OR|²得

x2+y2

•

122+ y 2 p

=(

x R 2  + y R 2

) 2③
将①、②、③式代入上式，
整理得点Q的轨迹方程 （x-1）²+

2y2

3

=1 （x＞0）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等，故平时应加强这方面的训练．