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    【题目】已知函数

    （I）讨论函数的单调性；

    （II）当时，证明（其中e为自然对数的底数）

    【答案】（I）答案不唯一，具体见解析（II）证明见解析；

    【解析】

    （I）求导，分及，讨论与0的关系，得出函数的单调性；

    (II) 依题意，只需证明，令，利用导数求其最小值大于0即可得证.

    （I）由题意，函数的定义域为，

    ，

    当时，；

    当时，；

    当时，或；；

    当时，；

    当时，或；.

    综上讨论知：当时，在上单调递增，在上单调递减；

    当时，在，上单调递增，在上单调递减；

    当时，在上单调递增；

    当时，在，上单调递增，在上单调递减.

    （II）当时，由，只需证明，

    令，.

    设，则.

    当时，，单调递减；

    当时，，单调递增，

    ∴当时，取得唯一的极小值，也是最小值.

    的最小值是成立.

    故成立.

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    A.B.

    C.D.

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    【题目】随着网上购物的普及，传统的实体店遭受到了强烈的冲击，某商场实体店近九年来的纯利润如下表所示：

    年份

    2010

    2011

    2012

    2013

    2014

    2015

    2016

    2017

    2018

    时间代号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    实体店纯利润（千万）

    2

    2.3

    2.5

    2.9

    3

    2.5

    2.1

    1.7

    1.2

    根据这9年的数据，对和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.254；根据后5年的数据，对和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.985；

    （1）如果要用线性回归方程预测该商场2019年实体店纯利润，现有两个方案：

    方案一：选取这9年的数据，进行预测；

    方案二：选取后5年的数据进行预测.

    从生活实际背景以及相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适.

    附：相关性检验的临界值表：

    小概率

    0.05

    0.01

    3

    0.878

    0.959

    7

    0.666

    0.798

    （2）某机构调研了大量已经开店的店主，据统计，只开网店的占调查总人数的，既开网店又开实体店的占调查总人数的，现以此调查统计结果作为概率，若从上述统计的店主中随机抽查了5位，求只开实体店的人数的分布列及期望.

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    【题目】已知函数.

    （1）讨论函数的单调性；

    （2）若在上恒成立，求实数的取值范围；

    （3）在（2）的条件下（提示：可以用第（2）问的结论），对任意的，证明：.

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    【题目】如图，在三棱锥中，为正三角形，为棱的中点，，，平面平面

    （1）求证：平面平面；

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    【题目】在传染病学中，通常把从致病刺激物侵人机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：

    潜伏期（单位：天）

    人数

    （1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；

    （2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；

    潜伏期天

    潜伏期天

    总计

    岁以上（含岁）

    岁以下

    总计

    （3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立，为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？

    附：

    ，其中.

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