Question

【题目】如图，在三棱锥中，为正三角形，为棱的中点，，，平面平面

（1）求证：平面平面；

（2）若是棱上一点，与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）先根据平面平面，得出，结合条件得出平面，从而可得.

（2）建立空间直角坐标系，结合与平面所成角的正弦值为得出的坐标，然后利用法向量可求.

（1）因为为正三角形，为棱的中点，所以，

又平面平面，且平面平面，

所以平面，

所以，又，且，

所以平面.

又平面，

所以平面平面.

（2）作中点，连，由（1）及可知平面，

以为坐标原点，分别为轴，过且平行于的方向为轴，如图，建立空间直角坐标系．

设，

则,

，

设，则,，

设平面的法向量为，

因为与平面所成角的正弦值为，

所以，即，解得，

即为的中点，则

设平面的法向量为，则

，即，

取.

设平面的法向量为，则，

则二面角的余弦值为，

故.