Question

【题目】设数列中前两项给定，若对于每个正整数，均存在正整数（）使得，则称数列为“数列”.

（1）若数列为的等比数列，当时，试问：与是否相等，并说明数列是否为“数列”；

（2）讨论首项为、公差为的等差数列是否为“数列”，并说明理由；

（3）已知数列为“数列”，且 ，记，，其中正整数， 对于每个正整数，当正整数分别取1、2、、时的最大值记为、最小值记为. 设，当正整数满足时，比较与的大小，并求出的最大值.

Answer 1

【答案】（1）为“数列”；（2）当时,为“数列”；当时,不是“数列”；（3）；当时，取最大值为

【解析】

（1）由可求得,则,,进而比较与的情况,可得与相等,即可得到为“数列”；

（2）分别讨论与的情况,当时,利用等差数列的通项公式代入中,求解,即可判断；

（3）由题意可知,即,当时,设,,则,可推导得到,即,同理可得,由,,,可得,,进而作差整理可得,即可判断数列的单调性,从而求解.

（1）与相等,

因为是等比数列,所以,

则,

当时,,,

所以,

所以与相等；

因为对每个正整数，均存在且,使得

所以为“数列”

（2）因为首项为、公为“数列”差为的等差数列,

所以,

当时,对每个正整数,均存在正整数且使得,

所以当时,为“数列”；

当时,

,

若,

则,解得,不符合题意,

所以不是“数列”

（3）由题可知,对于每个正整数,均有,,

且对于所有正整数,均有,即,

对于每个正整数,选取恰当的正整数,使得,,

由,

则,

即,

类似的,

,即,

因为,,,

所以,,

所以,

因为,所以,

所以,

即,

所以正整数时,成立,即正整数时,成立,

所以在正整数满足时,当时,取得最大值为