Question

【题目】如图，将长方形OAA1O1(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，其中，弧的长为，AB为⊙O的直径.

（1）在弧上是否存在点(，在平面的同侧)，使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由.

（2）求二面角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）存在，当为圆柱的母线时，；（2）.

【解析】

（1）当为圆柱的母线时，连接，，，根据平面得到，根据圆的直径为得到，从而得到平面，再利用线面垂直的性质即可得到.

（2）首先以为原点，，分别为，轴，垂直于，轴直线为轴建立空间直角坐标系，分别计算平面和平面的法向量，代入公式计算即可.

存在，当为圆柱的母线时，.

如图所示：

连接，，，

因为为圆柱的母线，所以平面，

又因为平面，所以.

因为为圆的直径，所以.

，，，所以平面.

因为平面，所以.

（2）以为原点，，分别为，轴，

垂直于，轴直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

，，，

因为的长为，所以，

，.

设平面的法向量，

，令，解得，.

所以.

因为轴垂直平面，所以设平面的法向量.

所以，

因为二面角的平面角为锐角，所以其余弦值为.