Question

16．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直，且此焦点和长轴上较近的端点距离为4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{6}$，则此椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{48}$+$\frac{{y}^{2}}{24}$=1．

Answer 1

分析 由题意可得b=c，a-c=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{6}$，又a²-c²=b²，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程．

解答 解：一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直，
即有焦点与短轴的两端点构成一个等腰直角三角形，
即有b=c，
又此焦点和长轴上较近的端点距离为4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{6}$，
即为a-c=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{6}$，
又a²-c²=b²，
解得a=4$\sqrt{3}$，b=c=2$\sqrt{6}$，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{48}$+$\frac{{y}^{2}}{24}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{48}$+$\frac{{y}^{2}}{24}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的求法，注意运用方程的思想方法，属于基础题．