Question

6．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，$\overrightarrow{AC}$的模为2，$\overrightarrow{BC}$的模为3，$\overrightarrow{AD}$的模为1，那么$\overrightarrow{DB}$的模为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 在△ACD和△BCD中，分别使用正弦定理得出$\frac{2}{sin∠ADC}$=$\frac{1}{sin∠ACD}$ 和$\frac{3}{sin∠BDC}$=$\frac{BD}{sin∠BCD}$
又∵sin∠ADC=sin∠BDC，sin∠ACD=sin∠BCD，联立以上两个比例式即得出答案．

解答 解：由题意可知AC=2，BC=3，AD=1，
∵∠ADC+∠BDC=π
∠ACD=∠BCD
∴sin∠ADC=sin∠BDC
sin∠ACD=sin∠BCD
在△ACD中，由正弦定理得：
$\frac{AC}{sin∠ADC}$=$\frac{AD}{sin∠ACD}$．
在△BCD中，由正弦定理得：
$\frac{BD}{sin∠BCD}$=$\frac{BC}{sin∠BDC}$，
∴$\frac{2}{sin∠ADC}$=$\frac{1}{sin∠ACD}$  ①
$\frac{BD}{sin∠ACD}$=$\frac{3}{sin∠ADC}$   ②
由①②得BD=$\frac{3}{2}$即$\overrightarrow{DB}$的模为$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理在解三角形中的应用及三角函数的诱导公式．