Question

15．若不等式3^2x-k•3^x+4≥0对于任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 令t=3^x（t＞0），运用参数分离可得k≤t+$\frac{4}{t}$的最小值，运用基本不等式可得最小值，即可得到k的范围．

解答 解：令t=3^x（t＞0），不等式3^2x-k•3^x+4≥0对于任意x∈R恒成立，
即为t²-kt+4≥0（t＞0）恒成立，
即有k≤t+$\frac{4}{t}$的最小值，
由t+$\frac{4}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{4}{t}}$=4，当且仅当t=2取得最小值4．
则有k≤4．
即k的取值范围是（-∞，4]．

点评 本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用换元法和指数函数的值域，由参数分离和基本不等式可得最小值，考查运算能力，属于中档题．