Question

在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A（-2，0），B（2，0），点P为动点，且直线AP与直线BP的斜率之积为．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点D（1，0）的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出△MON的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P点坐标为（x，y）根据直线AP与直线BP的斜率之积为，代入斜率公式，整理可得动点P的轨迹C的方程；
（2）设出交点M，N的坐标及直线l的方程为x=ny+1，联立方程根据韦达定理求出y₁+y₂，y₁•y₂的值，根据弦长公式求出MN长，求出△MON的面积的表达式，分析出对应函数的单调性，可得答案．
解答：解：设P点的坐标为（x，y）
∵A（-2，0），B（2，0），直线AP与直线BP的斜率之积为．
∴•=（x≠±2）
整理得P点的轨迹方程为（x≠±2）
（2）设直线l的方程为x=ny+1
联立方程x=ny+1与（x≠±2）得
（3n²+4）y²+6ny-9=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=，y₁•y₂=
△MON的面积S=•|OP|•|y₁-y₂|====
令t=，则t≥1，且y=3t+在[1，+∞）是单调递增
∴当t=1时，y=3t+取最小值4
此时S取最大值
此时直线的方程为x=1
点评：本题考查的知识点是轨迹方程，直线与圆锥曲线的关系，熟练掌握设而不求，联立方程，韦达定理，弦长公式等一系列处理直线与圆锥曲线关系的方法和技巧是解答的关键．