Question

42、某公司要将一批海鲜用汽车运往A地，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入30万元，每提前一天送到，可多获得1万元，每迟到一天送到，将少获得1万元．为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路1或公路2中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示．

（Ⅰ）记汽车走公路1时公司获得的毛利润为ξ（万元），求ξ的分布列和数学期望Eξ；
（Ⅱ）假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？
（注：毛利润=销售收入-运费）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求走公路1时公司获得的毛利润为ξ的分布列和数学期望Eξ．因为在不堵车的时候毛利润为销售收入减去运费，堵车的情况会推迟一天到达，故毛利润为销售收入减去运费再减去少获得得1万元．两种利润是由堵车是否决定的，故概率为是否堵车的概率．根据分析即可求得分布列，然后根据期望公式求得即可．
（Ⅱ）求选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多，可以同（Ⅰ）中的解法一样先求出走公路2时获得的毛利润为η的期望值，然后比较两个期望值得大小，选择较大的一个即是可能获得的利润最多的情况．

解答：解：（1）汽车走公路1时，不堵车时果园获得的毛利润ξ=30-1.6=28.4万元
堵车时蔬菜基地获得的毛利润ξ=30-1.6-1=27.4万元
∴汽车走公路1是获得的毛利润ξ的分布列为

∴Eξ=28.4×+27.4×=28.3万元．
（2）设汽车走公路2时获得的毛利润为η
不堵车时获得的毛利润η=30-0.8+1=30.2万元，
堵车时获得的毛利润η=30-0.8-2=27.2万元，
∴汽车走公路2时获得的毛利润ξ的分布列为

∴Eη=20.2×+17.2×=28.7万元
∵Eξ＜Eη．
故选择公路2可能获利更多．

点评：此题主要考查离散型随机变量的分布和期望在实际中的应用问题．在此类选择可能获得利润最大的问题中，一般都是通过求它们的利润的期望值做比较即可．对学生实际应用能力要求比较高．