【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|. (Ⅰ)若不等式f(x)≤2的解集为[0,4],求实数a的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若x0∈R,使得f(x0)+f(x0+5)﹣m2<4m,求实数m的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)∵|x﹣a|≤2,∴a﹣2≤x≤a+2, ∵f(x)≤2的解集为[0,4],∴ ,∴a=2.
(Ⅱ)∵f(x)+f(x+5)=|x﹣2|+|x+3|≥|(x﹣2)﹣(x+3)|=5,
∵x0∈R,使得 ,
即 成立,
∴4m+m2>[f(x)+f(x+5)]min , 即4m+m2>5,解得m<﹣5,或m>1,
∴实数m的取值范围是(﹣∞,﹣5)∪(1,+∞).
【解析】(Ⅰ)若不等式f(x)≤2的解集为[0,4],可得 ,即可求实数a的值;(Ⅱ)根据第一步所化出的分段函数求出函数f(x)的最小值,若x0∈R,使得f(x0)+f(x0+5)﹣m2<4m成立,只需4m+m2>fmin(x),解出实数m的取值范围.
【考点精析】掌握绝对值不等式的解法是解答本题的根本,需要知道含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号.
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【题目】已知椭圆的离心率为,且过点B(0,1).
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若点A是椭圆的右顶点,点在以AB为直径的圆上,延长PB交椭圆E于点Q,求的最大值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(﹣1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于﹣ .
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为2的正方形,EF∥平面ABCD,EF=1,FB=FC,∠BFC=90°,AE= .
(1)求证:AB⊥平面BCF;
(2)求直线AE与平面BDE所成角的正切值.
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【题目】已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=2f(x+2),当x∈[0,2)时,f(x)=﹣2x2+4x.设f(x)在[2n﹣2,2n)上的最大值为an(n∈N*),且{an}的前n项和为Sn , 则Sn=( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,经过村庄A有两条夹角60°为的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).记∠AMN=θ.
(1)将AN,AM用含θ的关系式表示出来;
(2)如何设计(即AN,AM为多长时),使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?
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【题目】已知h(x)=|2x﹣1|+m|x+3|(m>0),且h(x)的最小值是7. (Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)求出当h(x)取得最小值时x的取值范围.
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【题目】已知△ABC的三个内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且 .则使得sin2B+sin2C=msinBsinC成立的实数m的取值范围是 .
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