Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F，直线x=t（t＞0，且t≠1）与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），定点Q的坐标为（-1，0），直线QA与抛物线的另一个交点为点M．
（1）求证：点M，F，B三点共线；
（2）当2≤t≤3时，求

|MA|

|MB|

的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）首先设出直线QA的方程为：x=my-1联立抛物线得：

x=my-1 y2=4x

得到直线BM的方程y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)进一步求得F在直线上，以此三点共线．
（2）由（1）的结论分别求得

|MA

|和|

MB

|，进一步利用导数求得2≤t≤3时函数为单调递增函数，最后确定

| MA |

| MB |

的取值范围．

解答： （1）证明：已知抛物线y²=4x的焦点为F，直线x=t（t＞0，且t≠1）与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），定点Q的坐标为（-1，0），直线QA与抛物线的另一个交点为点M．
设：A（x₁，y₁） M（x₂，y₂） B（x₁，-y₁），则直线QA的方程为：x=my-1
与抛物线y²=4x联立得到：

x=my-1 y2=4x

所以：y²-4my+4=0
y₁+y₂=4m   y₁•y₂=4
则直线BM的方程为：
y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)
即：y-y2=

4

y2-y1

(x-x2)
令y=0解得：x=

y1y2

4

=1
即：焦点F（1，0）
所以：点M，F，B三点共线
（2）解：由（1）得：A（t，2

t

)B（t，-2

t

)Q（-1，0）
则利用A、M、Q三点共线求得：M(

1

t

，

2

t

)
|

MA

|=

(t- 1 t )2+(2 t - 2 t )2

|

MB

|=

(t- 1 t )2+(2 t + 2 t )2

| MA |

| MB |

=

(t+ 1 t )2+4(t+ 1 t )-12 (t+ 1 t )2+4(t+ 1 t )+4

设(t+

1

t

)2+4(t+

1

t

)=x则：

| MA |

| MB |

=

x-12 x+4

=

1- 16 x+4

利用导数得：2≤t≤3函数为增函数，

65

4

≤x≤

220

9

进一步求得：

| MA |

| MB |

∈[

21

9

，

142

16

]
故答案为：（1）略
（2）

| MA |

| MB |

∈[

21

9

，

142

16

]

点评：本题考查的知识要点：直线与圆锥曲线的关系，三点共线的充要条件，向量的坐标运算，及向量的模，导数在函数单调性中的应用，利用单调性求

| MA |

| MB |

的值域