练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

    已知椭圆与双曲线2x2-2y2=1共焦点，且过（数学公式）
    （1）求椭圆的标准方程．
    （2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．

    解：（1）依题意得，将双曲线方程标准化为=1，则c=1．
    ∵椭圆与双曲线共焦点，∴设椭圆方程为=1，∵椭圆过（，0），
    ∴=2，∴椭圆方程为=1．
    （2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），则
    y=2x+b 且 =1得，9x2+8xb+2b2-2=0，∴x1+x2=-．
    即x=-两式消掉b得 y=-x．
    令△=0，64b2-36（2b2-2）=0，即b=±3，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y=2x±3
    即当x=±时斜率为2的直线与椭圆相切．
    所以平行弦得中点轨迹方程为：y=-x（-）．
    分析：（1）求出双曲线的焦点，由此设出椭圆方程，把点（，0）代入椭圆方程，求出待定系数即得所求的椭圆方程．
    （2）设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），把y=2x+b 代入椭圆的方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求出轨迹方程为y=-x，求出直线y=2x+b 和椭圆相切时的b值，即得轨迹方程中自变量x
    的范围．
    点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及简单性质的应用；求点的轨迹方程的方法，求轨迹方程中自变量x的范围，是解题的易错点．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出下列命题：
    ①已知椭圆
    x2
    16
    +
    y2
    8
    =1    的两个焦点为F1，F2，则这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F1MF2为直角三角形；
    ②已知直线l过抛物线y=2x2的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
    ③若过双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
    ④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
    其中正确命题的序号是
     
    ．（把你认为正确命题的序号都填上）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2004•宝山区一模）设直线2x-y+1=0与椭圆
    x2
    3
    +
    y2
    4
    =1    相交于A、B两点．
    （1）线段AB中点M的坐标及线段AB的长；
    （2）已知椭圆具有性质：设A、B是椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，并记为kAB，kOM，则kAB?kOM为定值．试对双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    写出具有类似特性的性质，并加以证明．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    给出下列命题：
    ①已知椭圆
    x2
    16
    +
    y2
    8
    =1    的两个焦点为F1，F2，则这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F1MF2为直角三角形；
    ②已知直线l过抛物线y=2x2的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
    ③若过双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
    ④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
    其中正确命题的序号是______．（把你认为正确命题的序号都填上）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：2010-2011学年安徽省巢湖市高三（上）质量检测数学试卷（理科）（解析版） 题型：填空题

    给出下列命题：
    ①已知椭圆的两个焦点为F1，F2，则这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F1MF2为直角三角形；
    ②已知直线l过抛物线y=2x2的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
    ③若过双曲线C：的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
    ④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
    其中正确命题的序号是    ．（把你认为正确命题的序号都填上）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：2005年上海市宝山区高考数学一模试卷（解析版） 题型：解答题

    设直线2x-y+1=0与椭圆相交于A、B两点．
    （1）线段AB中点M的坐标及线段AB的长；
    （2）已知椭圆具有性质：设A、B是椭圆上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，并记为kAB，kOM，则kAB?kOM为定值．试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案