Question

（12分）已知椭圆，过点（m,0）作圆的切线交椭圆G于A，B两点.

（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；

（2）将表示为m的函数，并求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） （Ⅱ）|AB|的最大值为2.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设椭圆的方程，利用椭圆G经过点P( )，且一个焦点为(-，0)，建立方程，求得几何量，即可求得椭圆G的方程；

（Ⅱ）由题意知，|m|≥1，分类讨论：当m=±1时，|AB|=；当|m|＞1时，设l的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及l与圆x²+y²=1相切，可表示|AB|，利用基本不等式可求最值，从而可得结论．

解：（Ⅰ）由已知得所以

所以椭圆G的焦点坐标为离心率为

（Ⅱ）由题意知，.

当时，切线的方程，点A、B的坐标分别为

此时当m=－1时，同理可得

当时，设切线的方程为

由

设A、B两点的坐标分别为，则

又由与圆

所以

由于当时，所以.

因为且当时，|AB|=2，

所以|AB|的最大值为2.

考点：本题主要考查了椭圆的性质与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，考查韦达定理的运用。

点评：解决该试题的关键是正确的运用韦达定理，同时利用设而不求的思想来得到坐标关系式，结合韦达定理消去参数得到弦长的值，运用函数思想求解其范围。