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(2009•越秀区模拟)已知一动圆P(圆心为P)经过定点Q(
2
,0),并且与定圆C:(x+
2
)
2
+y2=16
(圆心为C)相切.
(1)求动圆圆心P的轨迹方程;
(2)若斜率为k的直线l经过圆x2+y2-2x-2y=0的圆心M,交动圆圆心P的轨迹于A、B两点.是否存在常数k,使得
CA
+
CB
=2
CM
?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
分析:(1)设P(x,y),动圆半径为r,则|PQ|=r.因为点Q在圆C的内部,所以动圆P与定圆C内切,所以|PC|=4-r.
所以|PC|+|PQ|=4>|CQ|=2
2
,由此能够求出动圆圆心P的轨迹方程.
(2)假设存在常数k,使得
CA
+
CB
=2
CM
,即
AM
=
MB
,所以M为AB的中点.圆方程可化为(x-1)2+(y-1)2=2,所以圆心M为(1,1).直线l的方程为y-1=k(x-1).由
y-1=k(x-1)
x2
4
+
y2
2
=1
,得(1+2k2)x2+(4k-4k2)x+(2k2-4k-2)=0.因为点M(1,1)在椭圆
x2
4
+
y2
2
=1
的内部,所以恒有△>0.由此能够推导出存在常数k=-
1
2
,使得
CA
+
CB
=2
CM
解答:(1)解:设P(x,y),动圆半径为r,则|PQ|=r.
因为点Q在圆C的内部,所以动圆P与定圆C内切,
所以|PC|=4-r.
所以|PC|+|PQ|=4>|CQ|=2
2

根据椭圆的定义,动圆圆心P的轨迹是以C、Q为焦点的椭圆.
因为椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,
故可设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

由2a=4,2c=2
2
,得a=2,c=
2
,b=
2

所以椭圆方程为
x2
4
+
y2
2
=1

所以动圆圆心P的轨迹方程为
x2
4
+
y2
2
=1

(2)解:假设存在常数k,使得
CA
+
CB
=2
CM

AM
=
MB
,所以M为AB的中点.
圆方程可化为(x-1)2+(y-1)2=2,
所以圆心M为(1,1).
因为直线l经过点M,
所以直线l的方程为y-1=k(x-1).
y-1=k(x-1)
x2
4
+
y2
2
=1

消去y得(1+2k2)x2+(4k-4k2)x+(2k2-4k-2)=0.
因为点M(1,1)在椭圆
x2
4
+
y2
2
=1
的内部,
所以恒有△>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=
4k2-4k
1+2k2

因为M为AB的中点,
所以
x1+x2
2
=1

2k2-2k
1+2k2
=1

解得k=-
1
2

所以存在常数k=-
1
2

使得
CA
+
CB
=2
CM
点评:本题通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力,通过直线与圆锥曲线的位置关系处理,考查学生的运算能力.通过向量与几何问题的综合,考查学生分析转化问题的能力,探究研究问题的能力,并体现了合理消元,设而不解的代数变形的思想.综合性强,难度大,容易出错.
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