Question

如图所示， 四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA = 1，PD＝，E为PD上一点，PE = 2ED．

（Ⅰ）求证：PA 平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D－AC－E的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF // 平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ） PA = PD = 1 ,PD = 2 ,
PA² + AD² = PD², 即：PA AD      
又PA CD , AD , CD 相交于点D,
PA 平面ABCD                
（Ⅱ）过E作EG//PA 交AD于G，从而EG 平面ABCD，
且AG = 2GD , EG = PA = ,                                
连接BD交AC于O, 过G作GH//OD ，交AC于H，连接EH．
GH  AC ,
EH AC ,
EHG为二面角D-AC-E的平面角．                        
tanEHG = = ．
二面角D-AC-E的平面角的余弦值为
（Ⅲ）以AB , AD , PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则A（0 ，0， 0），B（1，0，0） ，C（1，1，0），P（0，0，1），E（0 ,）,
 = （1,1,0），= （0 ,）                                                
设平面AEC的法向量= （x, y,z） ,
则 ，即：，
令y = 1 , 则 = （- 1,1, - 2 ）                                   
假设侧棱PC上存在一点F, 且， （0≤λ≤1）,
使得：BF//平面AEC，则＝ 0．
又因为：＝ （0 ，1，0）+ （-λ，-λ，λ）= （-λ，1-λ，λ）,
∴
∴
所以存在PC的中点F, 使得BF//平面AEC．