Question

设函数f(x)=

x

3

-3a

x

2

+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）．
（I）求a，b的值；
（II）如果函数g（x）=f（x）+c有三个不同零点，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数在切点处的导数值为切线斜率，切点在切线上，列方程组可解；
（Ⅱ）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的极值，要使函数g（x）=f（x）+c有三个不同零点，只需函数的极值异号，从而可得不等式，由此即可求得c的取值范围．

解答：解：（I）求导得f′（x）=3x²-6ax+3b．
由于f（x）的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），
所以f（1）=-11，f′（1）=-12，即：

1-3a+3b=-11 3-6a+3b=-12

，解得：a=1，b=-3．
（II）由a=1，b=-3得：g′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
令g′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；令g′（x）＜0，解得-1＜x＜3．
故当x∈（-∞，-1）时，g（x）是增函数；当x∈（-1，3）时，g（x）是减函数；
当x∈（3，+∞）时，g（x）是增函数，
所以g（x）的极大值为5+c；g（x）的极小值为c-27
∵函数g（x）=f（x）+c有三个不同零点，∴（5+c）（c-27）＜0
∴-5＜c＜27
∴c的取值范围为（-5，27）．

点评：本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．