Question

如图，过圆x²+y²=4与x轴的两个交点A、B作圆的切线AC、BD，再过圆上任意一点H作圆的切线，交AC、BD与C、D两点，设AD、BC的交点为R．
（I）求动点R的轨迹E的方程；
（II）设E的上顶点为M，直线l交曲线E于P、Q两点，问：是否存在这样的直线l，使点G（1，0）恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）因为动点R为动直线直线AD、BC的交点，所以可用消参法求R的轨迹方程．先设点H（x，y），求出A，B，C，D四点坐标，则可得到含参数x，y的直线AD，BC方程，再消去参数，即可得到求动点R的轨迹E的方程．
（II）假设存在直线l交曲线E于P、Q两点，使点G（1，0）恰为△PQM的垂心．则MG为△PQM在边PQ上的高线所在直线，MG⊥PQ，又因为kMG=-1，所以k_PQ=1，这样，就可设出直线MQ的方程为y=x+m，与曲线E的方程联立，消y，得到关于x的一元二次方程，求两根之和，两根之积．又因为点G（1，0）恰为△PQM的垂心，所以MP⊥GQ，∴=0，得到含x₁，x₂的方程，根据前面所求的x₁+x₂，x₁x₂，就可求m的值，如能求出，则m存在，否则，m不存在
解答：解：（I）则x²+y²=4，
由题意可知，y≠0，且以H为切点的圆的切线斜率为：-
故切线方程为：y-y=-（x-x），
展开得，xx+yy=x²+y²即以H为切点的圆的方程为xx+yy=4
∵A（-2，0），B（2，0）将x=±2代入上述方程可得点C，D坐标分别为C（-2，）D（2，）
则l_AD：，l_BC：两式相乘，可消x，y，
化简得动点R的轨迹E的方程为
（II）假设存在直线l交曲线E于P、Q两点，使点G（1，0）恰为△PQM的垂心．
设P（x₁，y₁），Q（x₁，y₂）∵M（0，1），G（1，0），MG⊥PQ，∴k_PQ=1
设直线l为y=x+m，与曲线E的方程联立，消y，得5x²+8mx+4m²-4=0
由△=（8m）²-4×5（4m²-4）＞0得
x₁+x₂=m，x₁x₂=（m²-1）
又∵MP⊥GQ，∴=0
∴x₁（x₂-1）+y₁（y₂-1）=0
又y₁=x₁+m，y₂=x₂+m
∴x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=，0即2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0
∴（m²-1）-m（m-1）+m²-m=0即5m2-3m-8=0
解得m=1或m=-
检验：当m=1时，l过M点，构不成三角形，舍去．当m=-时，符合条件
故直线l的方程为y=x-
点评：本题考查了消参法求动点轨迹方程，以及直线与椭圆位置关系的判断，计算量较大，应认真计算．