Question

1．已知E，F为双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（0＜a＜b）$的左右焦点，抛物线y²=2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，且与双曲线交于A、B不同两点，若5|AF|=4|EF|，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $4+\sqrt{7}$
• B． $4-\sqrt{3}$
• C． $4+\sqrt{3}$
• D． $4-\sqrt{7}$

Answer 1

分析 根据双曲线的定义求出|BE|=10a，|BF|=8a，结合抛物线的定义求出交点B的纵坐标，结合直角三角形的边角关系建立方程进行求解即可．

解答 解：根据双曲线和抛物线的对称性得|BF|=|AF|=$\frac{4}{5}$|BE|，
∵|BE|-|BF|=2a，
∴|BE|-$\frac{4}{5}$|BE|=|BE|=2a，
则|BE|=10a，|BF|=8a，
∵抛物线y²=2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，
∴$\frac{p}{2}$=c，且x=-c是抛物线的准线，
则|BD|=|BF|=8a，
设B（x，y），则由抛物线的性质得x+c=8a，即x=8a-c，
代入抛物线方程y²=2px=4cx得y²=4c（8a-c），
则|DE|²=y²=4c（8a-c），
在直角三角形BDE中，
BE²=DE²+BD²，
即100a²=64a²+4c（8a-c），
即36a²-32ac+4c²=0，
即c²-8ac+9a²=0，
解e²-8e+9=0，
得e=$\frac{8±\sqrt{64-36}}{2}$=4±$\sqrt{7}$，
∵0＜a＜b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$＞$\sqrt{2}$，
∴e=4+$\sqrt{7}$，
故选：A

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据抛物线和双曲线的定义建立方程关系，求出a，c的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．