Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，2cosx），函数f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，若不等式f（x）≤m在[0，$\frac{π}{2}$]上有解，则实数m的最小值为（　　）

• A． 0
• B． -1
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 利用两个向量的数量积的定义，三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的范围，可得m的最小值．

解答 解：∵函数f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4sin²x+4$\sqrt{3}$sinxcosx=2-2cos2x+2$\sqrt{3}$sin2x=4sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2，
在[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，∴4sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-2，4]，∴f（x）∈[0，6]．
若不等式f（x）≤m在[0，$\frac{π}{2}$]上有解，则m≥0，
故选：A．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，函数的能成立问题，属于中档题．