Question

已知直线l的方程为3x-2y-1=0，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（a_n，S_n）在直线l上．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）bn=

n(2Sn+1)

an

，数列{b_n}的前n项和为Tn，求f(n)=

bn

Tn+24

(n∈N*)的最大值．

Answer 1

分析：（I）由题意可得3a_n-2S_n-1=0 ①，故有 3a_n+1-2s_n+1-1=0 ②，②-①可得 a_n+1=3a_n．故数列{a_n}是公比q=3的等比数列．在①中，令n=1可得 a₁=1，由此求得求数列{a_n}的通项公式．
（II）由（I）可得 S_n的解析式，从而得到{b_n}的通项公式及T_n的解析式，化简f（n）=

bn

Tn+24

的解析式为

2

n+1+ 16 n

，利用基本不等式求出f（n） 的最大值．

解答：解：（I）由题意可得3a_n-2S_n-1=0  ①，∴3a_n+1-2s_n+1-1=0  ②．
②-①可得 3a_n+1-3a_n=2a_n+1，即 a_n+1=3a_n．
故数列{a_n}是公比q=3的等比数列．
在①中，令n=1可得 a₁=1，∴a_n=1×3^n-1=3^n-1．
（II）由以上可得 S_n=

a1(1-qn)

1-q

=

1

2

(3n-1)．
∵bn=

n(2Sn+1)

an

=3n，∴T_n=

n(3+3n)

2

，
∴f(n)=

bn

Tn+24

=

3n

n(3+3n) 2 +24

=

2n

n2+n+16

=

2

n+1+ 16 n

≤

2

9

，当且仅当n=4时，等号成立．
∴f（n）=

bn

Tn+24

的最大值等于

2

9

．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，求出首项和公比，是解题的关键．